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ANÁLISIS NUMÉRICO DE MODELOS
MATEMÁTICOS UNIDIMENSIONALES
APLICADOS EN BIOLOGÍA
NUMERICAL ANALYSIS OF ONE-DIMENSIONAL MATHEMATICAL
MODELS APPLIED IN BIOLOGY
Recibido: 30/03/2021 - Aceptado: 24/01/2022
JOHNNY FERNANDO HIDALGO RODRÍGUEZ
Docente de la Universidad Politécnica Estatal del Carchi
Tulcán - Ecuador
Máster en Ingeniería Matemática y Computación
Universidad Internacional de la Rioja - UNIR
johnny.hidalgo@upec.edu.ec
https://orcid.org/0000-0001-8436-7843
Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos
matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1,
339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Resumen
El presente trabajo de investigación tiene como propósito dar a conocer los principales modelos
matemáticos unidimensionales aplicados en Dinámica de Poblaciones en lo concerniente al área
de la biología (crecimiento de individuos y poblaciones). Estos modelos los cuales son lineales y no
lineales, utilizan ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales para describir de mejor
forma los fenómenos biológicos. El objetivo principal de este estudio fue la aplicación de Métodos
Numéricos de un paso (Heun y Runge-Kutta) y multipasos (Adams-Basforth y Adams-Moulton) para
la resolución de problemas de valor inicial, a los modelos matemáticos unidimensionales propuestos,
con el n de realizar comparaciones y determinar qué Método Numérico fue el que mejor se ajustó
a la solución analítica de cada Modelo Matemático; para esto, como herramienta informática de
apoyo para la representación de los datos y su forma gráca, se utilizó el programa MATLAB, el
cual es un sistema de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado con un
lenguaje de programación propio. Se obtuvieron los resultados de la aplicación de cada método
numérico a la solución analítica de los diferentes modelos matemáticos en estudio; posteriormente
se representaron, gracaron e interpretaron estos resultados y, de toda la información y resultados
obtenidos se concluyó que es el método de Runge-Kutta de orden 4 el que mejor se ajustó o aproximó
a la solución analítica de cada uno de los cinco modelos; seguido del método de Adams-Basforth de
orden 4, el cual sólo presentó problemas al aplicarlo sobre el modelo de Gompertz, presentando
un comportamiento inestable en los datos obtenidos. El método que menos se ajustó en todos los
modelos es el de Heun de orden dos; el método de Adams-Moulton de orden 4 presentó
Palabras claves: Modelos Matemáticos, Métodos Numéricos, Dinámica de las Poblaciones,
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Problemas de Valor Inicial.
Abstract
The present research work has as purpose to present the main one-dimensional mathematical models
that have been applied in Population Dynamics in relation to the area of biology (growth of individuals
and populations). These models, which are linear and non-linear, use ordinary dierential equations
with initial conditions to better describe biological phenomena. The main objective of this study was the
application of one-step (Heun and Runge-Kutta) and multistep (Adams-Basforth and Adams-Moulton)
Numerical Methods for the resolution of initial value problems, to the proposed one-dimensional
mathematical models, with The purpose of making comparisons and determining which Numerical
Method was the one that best adjusted to the analytical solution of each Mathematical Model; For this,
as a computer support tool for the representation of data and its graphic form, the MATLAB program
was used, which is a numerical computing system that oers an integrated development environment
with its own programming language. The results of the application of each numerical method to the
analytical solution of the dierent mathematical models under study were obtained; Later, these
results were represented, plotted and interpreted and, from all the information and results obtained,
it was concluded that it is the Runge-Kutta method of order 4 that best adjusted or approximated the
analytical solution of each of the ve models; followed by the Adams-Basforth method of order 4, which
only presented problems when applied to the Gompertz model, presenting an unstable behavior in
the data obtained. The least adjusted method in all models is Heun’s of order two; the Adams-Moulton
method of order 4 presented an unstable behavior in the data obtained in all the chosen models.
Keywords: Mathematical Models, Numerical Methods, Population Dynamics, Ordinary Dierential
Equations, Initial Value Problems.
ANÁLISIS NUMÉRICO DE
MODELOS MATEMÁTICOS
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Introducción
“A lo largo de la historia, el hombre ha intentado hacer predicciones en diversas áreas, como la
demografía, economía, química, biología, meteorología, entre otras ciencias” (Ortiz Laso, 2016). “En la
actualidad los modelos matemáticos han ganado mayor importancia, debido a su relación con todas
estas ciencias” (Ulloa Ibarra & Rodríguez Carrillo, 2010). Por esta razón, los modelos matemáticos
nos son útiles para predecir fenómenos o para la toma de decisiones cuando son aplicados a
varios fenómenos de las diferentes ciencias de estudio; cuando su aplicación e interpretación son
correctas, estos son de gran ayuda y nos pueden evitar grandes costos. “Los primeros modelos
matemáticos aplicados en biología han sido quizás los modelos que intentan describir la dinámica
de poblaciones” (Ditz, 2015). “Los modelos matemáticos contribuyen al manejo y esclarecimiento
de la dinámica de las poblaciones y revisten especial interés como herramientas predictivas en las
especies” (Barranco y otros, 1999). “La palabra dinámica nos lleva, desde el punto de vista de la
matemática, a considerar la derivada como tasa de cambio instantánea” (Jiménez, 1997).
El concepto de derivada puede ser introducido con la ayuda de la física, pasando de “velocidad
promedio” a “velocidad instantánea”, de manera un tanto intuitiva. Ante la necesidad de
ajustar un modelo de forma óptima a un conjunto de datos, es mejor seleccionarlo a partir
de un grupo de modelos candidatos (incluidos con base a las características de la especie
bajo estudio) en lugar de asumir que existe el mejor modelo y usarlo ajustándolo a los
datos. (Aragón-Noriega, 2012)
Es por todo esto que el presente estudio tomó como referencia los trabajos realizados por
los autores (Espinosa Herrera y otros, 2010) de la Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad
Azcapotzalco de la Ciudad de México, quienes presentaron una investigación basada en el estudio
de las ecuaciones diferenciales y desarrollaron algunas aplicaciones del modelo de Malthus y de
Verhulst. El estudio presentado por (Hidalgo de la Toba, 2015) sobre el crecimiento individual de
la Almeja Panopea Generosa y la aplicación de la teoría de modelos múltiples, quien utilizó entre
algunos modelos, el de crecimiento de Gompertz en su investigación. El estudio de los autores
(González y otros, Enero - Junio 2019) el cual se basó en un análisis multimodelo del crecimiento de
Pseudoplatystoma orinocoense en la cuenca media del Orinoco, Venezuela, y entre esos modelos
que utilizaron aparece Von Bertalany. Finalmente, el estudio presentado por los investigadores
(Malhado y otros, 2008) quienes analizaron modelos no lineales para lograr predecir el crecimiento
de bufalinos de la raza Murrah y entre estos se destaca el modelo de Brody.
Sin embargo, en ninguno de estos trabajos se incluyó un análisis posterior basado en la
aplicación de métodos numéricos a los resultados obtenidos en la utilización de estos modelos
matemáticos en cada uno de los estudios en mención; análisis que permitió observar y determinar
el método de mejor ajuste a la solución analítica de cada modelo. Por ello, la presente investigación
aportó como complemento a cualquiera de estos estudios donde se aplicó un análisis multimodelo
de crecimiento tanto en talla como en peso de una determinada especie en lo referente a la
dinámica de las poblaciones.
Modelos matemáticos
De forma general, de acuerdo a (Parra y otros, 2019), “un modelo matemático es un conjunto de
ecuaciones que describe las relaciones entre un conjunto de objetos que conforman un sistema”.
Resolviendo estas ecuaciones podemos imitar o simular el comportamiento del sistema. En (San
Cristóbal Mateo, 2004) se indica que “un modelo matemático es una ecuación o un conjunto de
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ecuaciones que describen un fenómeno de cualquier índole”. Sus soluciones se aproximarán a la
realidad del fenómeno en estudio con cierto margen de error, dependiendo de los parámetros
de cada modelo. Además, en (Ladino Martínez, 2012) se arma que “la posibilidad de modelar
matemáticamente un sistema tiene su importancia en poder predecir con determinado acierto el
comportamiento futuro de éste, en circunstancias que no pueden o son difíciles de ser reproducidas
en un laboratorio”. Finalmente, en (Ulloa Ibarra y otros, 2013) se concluye que:
En la actualidad los modelos matemáticos han ganado mayor importancia, debido a su
relación con todas las ciencias Por esta razón los modelos matemáticos nos son útiles
para predecir fenómenos o para la toma de decisiones cuando son aplicados a varios
fenómenos de las diferentes ciencias de estudio; cuando su aplicación e interpretación son
correctas, estos son de gran ayuda y nos pueden evitar grandes costos.
Dinámica de las poblaciones (Modelos de crecimiento):
Según (Csirke B., 1989):
La dinámica de las poblaciones es el estudio de la vida del ente o unidad viviente que
denominamos población. Es una rama de la biología que, con el auxilio de otras ciencias,
principalmente de las matemáticas, trata de describir y cuanticar los cambios que
continuamente ocurren en la población.
En cambio (Ditz, 2015) arma que:
Los primeros modelos matemáticos aplicados en Biología han sido quizás los modelos
que intentan describir la dinámica de poblaciones. Para saber cómo evoluciona una
determinada población es necesario conocer o suponer cómo varía el número de efectivos
de dicha población (ecuación diferencial) y tener datos del número de individuos que
componen dicha población en un instante determinado (condiciones iniciales).
Modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología:
El estudio matemático de los cambios en poblaciones tiene una historia muy amplia. Es imposible
armar cuál fue el primer modelo matemático formulado para la dinámica de una población, sin
embargo, en el presente trabajo estudiaremos aquellos modelos unidimensionales de crecimiento
aplicados en la dinámica de las poblaciones en la rama de la Biología, empezando por el de
Malthus o modelo exponencial, seguido de Verhulst o modelo logístico, Gompertz, Von Bertalany
y nalizaremos con el modelo de Brody. Todos estos modelos lineales y no lineales utilizan
Ecuaciones o Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s) con condiciones iniciales
para su aplicación; los estudiaremos con más detalle a continuación.
Modelo de malthus o modelo exponencial:
De acuerdo a (May Cen, 2016):
Uno de los primeros modelos matemáticos aplicados al crecimiento poblacional es el que
en el año de 1798 el economista inglés Thomas Malthus desarrolló. La idea básica del
modelo es la suposición de que la velocidad a la que crece la población es proporcional al
tamaño de la misma.
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“El modelo de crecimiento de Malthus (también denominado modelo de crecimiento
exponencial) está formulado a través de un problema de valor inicial (PVI) basado en una ecuación
diferencial ordinaria (EDO) de primer orden lineal homogéneo a coecientes constantes” (Cortés
López y otros, 2013).
Según (Cortés López y otros, 2013) en este modelo las variables son:
p(t): Población en el instante t.
p0: Población inicial en el instante t_0.
α: Constante de crecimiento relativo de la población.
Además (Cortés López y otros, 2013) arma que “en el modelo de Malthus la población es
más grande, cuando el número de especies u organismos sea mayor. La constante α, puede ser
positiva o negativa, y esta indica cuando una población crece o decrece”.
Por un procedimiento sencillo, se puede llegar a la solución al modelo de Malthus:
En la Figura 1, se representa un caso particular de (2) para α=0.28768207245, en el que
se puede visualizar el crecimiento de una población de bacterias, transcurrido cierto periodo de
tiempo.
Figura 1. Representación gráca de la solución del modelo de crecimiento
exponencial de Malthus con parámetros: α=0.28768207245 y p_0=150.
Modelo de Verhulst o Modelo logístico:
De acuerdo a (May Cen, 2016):
El modelo logístico es un renamiento del modelo de Malthus. Cada vez que crece una
especie, en algún momento este crecimiento se va a ver limitado por la escasez de recursos
y otros factores que no permiten que una especie pueda crecer de forma exponencial.
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De esta manera (Cortés López y otros, 2013) concluyen que “Verhulst consideró un término
de freno no lineal y demostró que este modelo expresa mejor cómo evoluciona una especie”. El
modelo resultante puede verse en (3).
Donde:
p(t): Población en el instante t.
r: Es la razón de crecimiento intrínseco.
K: Es la capacidad sustentable.
Por el método de separación de variables, se puede llegar a la solución al modelo de Verhulst:
En la Figura 2, se representa un caso particular de (4) para p(0)=K/4,r=0.71 y K=80.5*106 Kg
de biomasa, en el que se puede visualizar el crecimiento de la biomasa de cierta especie, transcurrido
cierto periodo.
Figura 2. Representación gráca de la solución del modelo logístico de Verhulst con parámetros:
p(0)=K/4,r=0.71 y K=80.5*106 Kg de Biomasa
Modelo de Gompertz:
Según (Cedrón Castro, 2016):
Benjamín Gompertz, fue miembro de una distinguida familia judía de orígenes germanos y
holandeses. Nació el 5 de marzo de 1779 en Londres, donde también murió el 14 de julio
de 1865. Desde la adolescencia, Gompertz estaba familiarizado con los tratados de los
matemáticos ingleses y franceses del siglo XVIII como Newton, Maclaurin o Emerson.
De acuerdo a (Trinidad Bello, 2014) la ecuación diferencial de Gompertz viene dada por la
siguiente expresión:
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Donde:
p(t): Población en el instante t.
A: Valor de crecimiento máximo de la población.
K: Tasa de crecimiento intrínseco.
La tasa de crecimiento del modelo, representada como:
Es de orden logarítmico. La ecuación diferencial de Gompertz se resuelve explícitamente
y sus soluciones son:
Donde:
p(t): Población en el instante t.
A: Valor del máximo de crecimiento y además determina un punto de inexión en A/e .
B: Valor positivo que traslada al modelo a la izquierda o a la derecha B=1/K
K: Tasa de crecimiento intrínseca.
En la Figura 3, se representa un caso particular de (7) para L(0)=12.22,A=118.62 y K=0.44,
en el que se puede visualizar el crecimiento o longitud de cierta especie, transcurrido cierto periodo
de tiempo.
Figura 3. Representación gráca de la solución del modelo de Gompertz con parámetros: L(0)=12.22,A=118.62 y K=0.44
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Modelo de Von Bertalany:
De acuerdo a (Chiappa Carrara y otros, 2009):
Este modelo expresa como crecen las especies tanto en talla como en peso de forma
individual. Su forma gráca representa una curva en la cual la pendiente disminuye
continuamente después de cierta edad, aproximándose a una asíntota superior paralela
al eje de la x. En la actualidad este modelo es uno de los más utilizados por biólogos para
los estudios de crecimiento en peces (alométrico e isométrico), así también en dinámica de
poblaciones o para el control del efecto de la pesca en dichas poblaciones.
Según (Trinidad Bello, 2014) la ecuación diferencial de Von Bertalany viene dada por la
siguiente expresión:
Por el método de separación de variables, se puede llegar a la solución al modelo de Von
Bertalany:
Donde:
L(t): Longitud del individuo al tiempo t.
A: Longitud máxima del individuo (asíntota máxima).
K: Parámetro de curvatura que indica qué tan rápido la longitud alcanzan su valor máximo.
t: Tiempo.
t0: Valor teórico del tiempo en el cual la longitud es igual a cero.
En la Figura 4, se representa un caso particular de (9) para L(0)=0,A=81.2 y K=0.386, en el
que se puede visualizar el crecimiento o longitud de cierta especie, transcurrido cierto periodo de
tiempo.
Figura 4. Representación gráca de la solución del modelo de Von Bertalany con parámetros: L(0)=0,A=81.2 y K=0.386
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Modelo de Brody:
Dentro del estudio de este modelo, podemos citar a (Ulloa Ibarra y otros, 2017) quienes maniestan
que “la representación del crecimiento requiere de la utilización de diferentes modelos, algunos
de ellos lineales y otros que no lo son, como el caso de los modelos sigmoidales que permiten
una buena representación de los procesos de crecimiento animal”. En cambio (Trinidad Bello,
2014) indica que, “en el modelo de Brody, su ecuación diferencial considera que la velocidad de
crecimiento en peso es proporcional al crecimiento que falta para llegar al peso máximo, Brody
extendió los trabajos desarrollados por Von Bertalany”.
De acuerdo a (Trinidad Bello, 2014) el modelo se representa por la siguiente ecuación diferencial:
Según (Trinidad Bello, 2014) al resolver la ecuación diferencial anterior, se integra y se
obtiene el modelo de Brody:
Donde:
P(t): Representa el peso del animal en el tiempo t.
A: Crecimiento o peso máximo asintótico, cuando t tiende al innito.
K: Índice de madurez.
B: Parámetro de ajuste, depende de la condición inicial en t = 0 y representa una
proporción del peso máximo.
En la Figura 5, se representa un caso particular de (11) para K=0.0011,A=688 y B=0.98, en
el que se puede visualizar el crecimiento en peso de cierta especie, transcurrido cierto periodo.
Figura 5. Representación gráca de la solución del modelo de Brody con parámetros: K=0.0011,A=688 y B=0.98
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Métodos numéricos
De acuerdo a (Chapra & Canale, 2015):
Los métodos numéricos son técnicas a través de las cuales se puede formular problemas
matemáticos, de tal manera que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Existen muchos tipos de métodos numéricos, los cuales comparten una característica
común: requieren de un gran número de cálculos matemáticos. Con el desarrollo de
computadoras digitales ecientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la
solución de problemas en ingeniería ha aumentado considerablemente en los últimos
años. Proporcionan aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad creciente de las
computadoras y su asociación con los métodos numéricos han inuido de manera muy
signicativa en el proceso de la solución actual de los problemas en ingeniería.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO):
Según (Chapra & Canale, 2015) en (12), se representa un ejemplo sencillo de una EDO:
“A este tipo de ecuaciones se las llama ecuaciones diferenciales, y las mismas tienen una
función que no se conoce y sus derivadas” (Chapra & Canale, 2015). Estas ecuaciones son muy
importantes en ingeniería, porque representan a los fenómenos físicos que luego pueden ser
formulados matemáticamente. En (12), la variable que se deriva v, es llamada variable dependiente
y la cantidad con respecto a la cual v se está derivando t, es llamada variable independiente. Si se
observa que la función tiene solo una variable independiente, la ecuación diferencial es ordinaria o
por sus siglas, EDO. “Este tipo de ecuaciones son diferentes a las ecuaciones diferenciales parciales
o EDP donde existen dos o más variables independientes” (Chapra & Canale, 2015).
Estas ecuaciones son clasicadas de acuerdo a su orden; de esta forma (12) representa
una EDO de primer orden, esto se debe a que su derivada mayor es una primera derivada; en
cambio una EDO de segundo orden tiene una segunda derivada como la mayor. Por ejemplo (13),
representa a una EDO de segundo orden:
Las EDO de orden superior pueden reducirse a un sistema de ecuaciones de primer orden.
Problema de Valor Inicial (PVI):
De acuerdo a (Burden & Faires, 2017) la ecuación (14) representa una EDO de segundo orden:
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Si se escribe θ(t0)=θ0, y su derivada θ^’ (t0)=θ’0, entonces observamos lo que se conoce
como problema de valor inicial.
Para los valores pequeños de θ, la aproximación θ≈Sen θ se puede utilizar para simplicar
el problema de valor inicial lineal.
Este problema se puede resolver con una técnica de ecuación diferencial estándar. Para
los valores más grandes de θ, la suposición de que θ=Sen θ no es razonable, por lo que deben
usarse los métodos de aproximación.
Métodos numéricos para la resolución de Problemas de Valor Inicial (PVI):
En el presente estudio, se analizaron dos tipos de métodos numéricos, para resolver problemas
de valor inicial. Los métodos de un paso: Heun y Runge-Kutta y los métodos de pasos múltiples:
Adams-Basforth y Adams-Moulton.
Métodos de un paso: de acuerdo a (Chapra & Canale, 2015) estos métodos son los que permiten
la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Aquellos métodos de un paso que son
expresados de esta forma general, van a diferir en la manera en la que se estima la pendiente.
Todas estas técnicas en general se conocen como métodos de Runge-Kutta.
Métodos Multipasos: según (Burden & Faires, 2017) “los métodos que utilizan la aproximación en
más de un punto de malla previo para determinar la aproximación en el siguiente punto, reciben el
nombre de métodos multipasos”. En cambio (Chapra & Canale, 2015) sostiene que “estos métodos
mantienen datos de pasos anteriores para lograr obtener de forma mucho más efectiva la solución;
además ofrecen la estimación del error de truncamiento que se utiliza para implementar el control
adaptativo del tamaño de paso”.
Materiales y métodos
El tipo de investigación que se utilizó es cuantitativa, se recopilaron los datos obtenidos de
los análisis multimodelo que se realizaron en cada uno de los estudios propuestos, los cuales
se describieron en la parte introductoria. Para aplicar este tipo de investigación se utilizaron
herramientas matemáticas e informáticas para medir estos datos
.
Se planteó en esta investigación la aplicación de cuatro métodos numéricos que resuelven
ecuaciones o sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con problemas de valor inicial, a
cinco modelos matemáticos de crecimiento en lo que respecta a la dinámica de las poblaciones en
el área de la Biología.
Para esto se tomaron en consideración investigaciones de otros autores que realizaron
análisis multimodelo para estimar el crecimiento en talla o peso de varias especies marinas y/o
terrestres; de estas investigaciones se tomaron los datos y los parámetros de cada modelo elegido
y con la ayuda de la herramienta informática de cálculos MATLAB se aplicaron los cuatro métodos
numéricos seleccionados, se obtuvieron los resultados numéricos y grácos de cada aplicación
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y realizando comparaciones, se determinó cuál de estos métodos numéricos es el que mejor se
ajusta o aproxima a la solución analítica que tiene cada modelo.
Resultados y discusión
Aplicación de los métodos numéricos al modelo de Malthus
La solución analítica al modelo de Malthus es:
Desarrollo matemático de la solución analítica:
Se inicia con la resolución de la ecuación diferencial ordinaria:
Luego se integra la expresión anterior:
Hasta aquí hemos obtenido la solución general de la ecuación diferencial ordinaria del
modelo de Malthus, pero debemos considerar que la población inicial p(0)=p_0 y con esta expresión
se calcula la constante C y posteriormente en (19) se obtiene la solución analítica del modelo de
Malthus:
A continuación, se realiza la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos a este
modelo, para esto se utiliza el siguiente ejemplo práctico.
Crecimiento de bacterias después de t horas:
En el año 2010 los investigadores (Espinosa Herrera y otros, 2010) de la Universidad
Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco de la Ciudad de México, presentaron un trabajo
basado en el estudio de las ecuaciones diferenciales y desarrollaron algunas aplicaciones del
modelo de Malthus; entre ellas se plantea el estudio en un cultivo de bacterias, donde se determinó
que al principio había 150 bacterias y 200 después de una hora (h). Se supone un crecimiento
rápido proporcional a la cantidad de bacterias presente, se determina la cantidad de bacterias
pasadas 10 horas.
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El desarrollo matemático indica lo siguiente: Si p(t) es la cantidad de bacterias presentes
después de t horas, entonces p(0)=p_0=150 y p(1)=p_1=200. Luego p(t) está dada por la solución
del problema de valor inicial:
Puesto que la solución analítica al modelo de Malthus es p(t)=p0 eαt, se tiene:
Entonces la cantidad de bacterias después de 10 horas es:
Con este sencillo ejemplo se puede estimar el crecimiento del número de bacterias,
transcurrido cierto periodo. Este ejercicio puede ser aplicado a cualquier otra especie, donde se
requiera analizar el comportamiento de su crecimiento.
Aplicación de métodos numéricos:
Una vez que se aplicaron los cuatro métodos numéricos seleccionados, con el apoyo de la
herramienta informática MATLAB, al presente ejemplo del modelo matemático de Malthus, con
p(0)=150 y α=0.28768207245, utilizando 10 subintervalos, a continuación, se presentan en la Tabla
1 los resultados de forma numérica y en la Figura 6 los resultados de forma gráca:
Tabla 1.
Estimación del crecimiento de bacterias presentes transcurridas 10 horas. Resultados
por hora de la solución analítica del modelo de Malthus Vs. la aplicación de los métodos
numéricos seleccionados.
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Cómo citar este artículo:
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Tabla 2.
Cálculo de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Malthus.
Figura 6. Representación gráca de los errores en la aplicación de los métodos numéricos seleccionados
a la solución analítica del modelo de Malthus.
De los resultados obtenidos en la Tabla 2 y de su representación gráca en la Figura 7,
se puede apreciar que el método numérico que mejor se ajusta a la solución analítica de esta
aplicación del modelo matemático de Malthus, es el método de Runge-Kutta de orden 4, cuyo
error es 0.344415603494781; seguido del método de Adams-Basforth de orden 4, cuyo error
es 8.25747249176993. El método de Adams-Moulton de orden 4 a pesar de que su error es
0.815694190598606, presenta un comportamiento irregular y los datos obtenidos no permiten
tener certeza en la estimación; el método de Heun de orden 2 es el que menor ajuste presenta, su
error es 84.0997988920781. Queda claro con esta aplicación que se puede estimar el crecimiento
de bacterias transcurrido el tiempo que queramos.
Aplicación de los métodos numéricos al modelo logístico de Verhulst
La solución analítica al modelo es:
ANÁLISIS NUMÉRICO DE
MODELOS MATEMÁTICOS
UNIDIMENSIONALES
APLICADOS EN BIOLOGÍA
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Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Desarrollo matemático de la solución analítica:
Se inicia con la resolución de la ecuación diferencial ordinaria:
Se resuelve la integral del primer miembro a través de fracciones parciales:
Ahora vamos a usar la expresión de condición inicial p(0)=p_0, para calcular C antes de
despejar p:
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Cómo citar este artículo:
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Se divide el numerador y denominador entre Cert para poder simplicar la expresión
anterior y nalmente en (29) se obtiene:
A continuación, se realiza la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos a este
modelo, para esto se utiliza el siguiente ejemplo práctico.
Crecimiento de la biomasa del Halibut (especie de gran tamaño, parecida al
lenguado) en el Pacíco después de t años:
En el año 2010 los investigadores (Espinosa Herrera y otros, 2010) de la Universidad Autónoma
Metropolitana - Unidad Azcapotzalco de la Ciudad de México, presentaron un trabajo basado en
el estudio de las ecuaciones diferenciales y desarrollaron algunas aplicaciones del modelo de
Verhulst; entre ellas se plantea un estudio sobre la especie Halibut, en el Pacíco, donde se utiliza
el modelo logístico con una capacidad sustentable de 80.5*10^6, medida en kg (biomasa), y razón
de crecimiento intrínseco de 0.71 por año. Si la biomasa inicial es la cuarta parte de la capacidad
sustentable, se debe encontrar la biomasa después de cinco años.
El desarrollo matemático indica lo siguiente: El problema de valor inicial por resolver
Hay que notar que p(t) no es el número de habitantes de la población sino la biomasa al
tiempo t, es decir, la masa total de los peces de esta especie. Su solución es:
Entonces al cabo de cinco años la biomasa será:
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MODELOS MATEMÁTICOS
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Aplicación de métodos numéricos:
Una vez que se aplicaron los cuatro métodos numéricos seleccionados, con el apoyo de la
herramienta informática MATLAB, al presente ejemplo del modelo matemático de Verhulst, con
p_0=K/4,r=0.71 y K=80.5*10^6 Kg de Biomasa, utilizando 10 subintervalos, a continuación, se
presentan en la Tabla 3 los resultados de forma numérica y en la Figura 8 los resultados de forma
gráca:
Tabla 3.
Estimación del crecimiento de la Biomasa del Halibut en el pacíco, transcurridos 5 años.
Resultados por año de la solución analítica del modelo de Verhulst Vs. la aplicación de los
métodos numéricos seleccionados.
Figura 7. Métodos Numéricos aplicados al Modelo de Verhulst.
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Tabla 4.
Cálculo de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Verhulst.
Figura 8. Representación gráca de los errores de la aplicación de los métodos numéricos
seleccionados a la solución analítica del modelo de Verhulst.
De los resultados obtenidos en la Tabla 4 y de su representación gráca en la Figura 9, se
puede apreciar que ocurre algo parecido al análisis realizado en la aplicación del modelo de Malthus;
el método numérico que mejor se ajusta a la solución analítica de esta aplicación del modelo
matemático de Verhulst, es el método de Runge-Kutta de orden 4, cuyo error es 7959.20082247257;
seguido del método de Adams-Basforth de orden 4, cuyo error es 769801.86198771. El método de
Adams-Moulton de orden 4 a pesar de que su error es 64554.5821546316, sigue presentando un
comportamiento irregular y los datos obtenidos no nos permiten tener certeza en la estimación;
el método de Heun de orden 2 es el que menor ajuste presenta, su error es 2398734.4487921. Se
puede apreciar además con esta aplicación que se puede estimar la biomasa de cualquier especie,
transcurrido cierto periodo.
Aplicación de los métodos numéricos al modelo de Gompertz
La ecuación diferencial de Gompertz se resuelve explícitamente y sus soluciones son:
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Desarrollo matemático de la solución analítica:
Se inicia con la resolución de la ecuación diferencial ordinaria:
Luego se integra a ambos lados de la ecuación:
Se realiza un cambio de variable para la integral que se encuentra al lado izquierdo de la
ecuación:
Ahora se procede a sustituir los valores W y dW en la integral:
Luego se utiliza el método de cambio de variables en la integral del lado izquierdo del signo
igual:
Luego se sustituye el valor de U y dU en la integral izquierda de la ecuación:
Con esto la solución de la integral del lado derecho es:
Con esto tenemos que C3=C1+C2 como constante de integración y luego se aplica la función
exponencial a ambos lados de la ecuación y se tiene:
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Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Si al nal despejamos W, obtenemos en (39) la solución de la ecuación diferencial del
modelo de Gompertz:
A continuación, se realiza la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos, a este
modelo, para esto se utiliza información del siguiente estudio sobre el crecimiento individual de especies.
Crecimiento individual de la Almeja Panopea Generosa en su límite sur de
distribución: aplicación de la teoría de modelos múltiples:
En el año 2015, (Hidalgo de la Toba, 2015) presentó un estudio sobre el crecimiento individual de
la Almeja Panopea Generosa. Según el investigador esta Almeja, se distribuye a lo largo de toda la
zona templada del Pacíco de Norteamérica, desde Alaska hasta Baja California y es descrita como una
especie que alcanza grandes tallas, posee una prolongada longevidad y presenta un lento crecimiento.
Esta investigación describió el crecimiento individual y la estructura poblacional de esta especie ubicada
en su límite sur de distribución en la localidad de Punta Canoas. Se obtuvo información sobre la longitud
de concha y el peso total de organismos provenientes de la pesquería comercial que se realiza en el sitio.
La edad individual se determinó mediante el conteo de las líneas de crecimiento de 243 organismos. La
longitud promedio de concha fue de 113.5 ±13.5 mm, peso promedio total de 511.8 ±158.1 g y edad
promedio de 12.5 ±4.7 años. La información de talla a la edad fue ajustada a los modelos de crecimiento
de Von Bertalany, Gompertz, Logístico, Johnson, generalizado de Von Bertalany y Schnute siguiendo
un enfoque de inferencia de modelos múltiples (IMM). El modelo de crecimiento de Gompertz muestra
una etapa de rápido crecimiento donde el 75% de la longitud máxima estimada (≈117mm) se adquiere
entre los 4 y 5 años, alcanzando la longitud asintótica próxima a los 10 años.
En la Tabla 5, (Hidalgo de la Toba, 2015) muestra los parámetros de los seis modelos de crecimiento,
estimados a partir de 2000 simulaciones Monte Carlo ajustado con suma de cuadrados residuales:
Tabla 5.
Parámetros de los seis modelos de crecimiento estimados a partir de 2000 simulaciones
Monte Carlo ajustado con suma de cuadrados residuales (SCR)
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Aplicación de métodos numéricos:
Para la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos se utiliza solo la información de los
parámetros del modelo de Gompertz: A (mm)=118.62 y K=0.44
Una vez que se aplicaron los métodos numéricos seleccionados al modelo matemático
de Gompertz, con el apoyo de la herramienta informática MATLAB, con los datos obtenidos
en el presente estudio de crecimiento individual: A=118.62,K=0.44 y L(0)=12.22, utilizando 10
subintervalos y la estimación del crecimiento de esta especie luego de 10 años. A continuación, se
presentan en la Tabla 6 los resultados de forma numérica y en la Figura 10 los resultados de forma
gráca:
Tabla 6.
Estimación del crecimiento de la Almeja Panopea Generosa transcurridos 10 años. Resultados
por año de la solución analítica del modelo de Gompertz vs. la aplicación de los métodos
numéricos seleccionados.
Figura 10. Métodos Numéricos aplicados al modelo de Gompertz.
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Tabla 7.
Cálculo de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Gompertz.
Figura 11. Representación gráca de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Gompertz.
De los resultados obtenidos en la Tabla 7 y de su representación gráca en la Figura 11,
se puede apreciar que ocurre algo nuevo respecto de los análisis realizados a las aplicaciones de
los modelos de Malthus y Verhulst; el método numérico que mejor se ajusta a la solución analítica
de esta aplicación del modelo matemático de Gompertz, es el método de Runge-Kutta de orden
4, cuyo error es 0.019656584792294; seguido del método de Heun de orden 2, cuyo error es
1.24006532846916. Los métodos de Adams-Basforth y Adams-Moulton de orden 4 a pesar de
que sus errores son 0.494383342059024 y 0.0299676471602197 respectivamente, presentan
comportamientos irregulares y los datos obtenidos no permiten tener certeza en la estimación.
Se puede observar con esta aplicación que es posible estimar el crecimiento de cualquier especie,
transcurrido los años que queramos, sin olvidar que cada especie tiene su propia expectativa de
vida.
Aplicación de los métodos numéricos al modelo de Von Bertalany
Por el método de separación de variables, se puede llegar a la solución al modelo de Von Bertalany:
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Desarrollo matemático de la solución analítica:
Se inicia con la resolución de la ecuación diferencial ordinaria:
Luego se integra a ambos lados de la ecuación:
Ahora se realiza un cambio de variable para la integral que se encuentra al lado izquierdo
de la ecuación:
Ahora se procede a sustituir los valores W y dW en la integral:
Luego se utiliza el método de cambio de variables en la integral del lado izquierdo del signo igual:
Luego se sustituye el valor de U y dU en la integral izquierda de la ecuación:
Con esto la solución de la integral del lado derecho es:
Con esto tenemos que C1 y C2 son constantes de integración; luego se obtiene la solución de la
ecuación diferencial del modelo de Von Bertalany:
Con esto tenemos que C3=C1+C2 como constante de integración y luego se aplica la función
exponencial a ambos lados de la ecuación y se tiene:
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Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Luego aplicamos la condición inicial:
Y se sustituye el valor de C4:
Obtenemos en (55) el modelo propuesto por Von Bertalany:
A continuación, se realiza la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos, a este
modelo, para esto se utiliza información del siguiente estudio sobre el crecimiento individual de especies.
Análisis multimodelo del crecimiento de Pseudoplatystoma orinocoense en la
cuenca media del Orinoco, Venezuela:
En 2019 los investigadores (González y otros, Enero - Junio 2019) publicaron un estudio basado
en un análisis multimodelo del crecimiento de Pseudoplatystoma orinocoense en la cuenca
media del Orinoco, Venezuela. Esta especie es un bagre dulceacuícola perteneciente a la familia
Pimelodidae, endémica de la cuenca del río Orinoco. En este río se encuentra entre las especies
más importantes desde el punto de vista pesquero y comercial; también es conocida comúnmente
como Rayao en Venezuela y Colombia. Los modelos usados fueron Von Bertalany, el modelo de
Verhulst o Logístico y Gompertz, derivados del modelo de Richards, cuyos ajustes dependieron de
la información contenida en los datos. Cuando los datos in¬cluyeron todas las edades el modelo de
Von Bertalany produjo el mejor ajus¬te, coincidiendo con resultados anteriores de crecimiento
de la especie. Al excluir las edades de uno y dos años, como ocurre con los datos provenientes de
la pesca artesanal debido a la selectividad, el mejor ajuste lo produjeron los modelos de Verhulst
y el de Gompertz. En este estudio (González y otros, Enero - Junio 2019) usaron tres grupos de
datos que in¬cluyeron los de longitud-edad observados según el número de anillos de crecimiento
en la espina dorsal de la especie en mención, el total de datos retro-calcula-dos para todas las
edades, y un subconjunto de da¬tos retro-calculados que excluyeron a peces de uno y dos años
de edad; estos dos últimos grupos de datos fueron ajustados anteriormente seleccionando a
priori el modelo de Von Bertalany, que fue pre¬cisamente el objetivo de este trabajo, vericar o
no el ajuste de estos datos a dicho modelo, usando además otros modelos de crecimiento para
seleccio¬nar realmente el de mejor ajuste. En la tabla 8, los autores (González y otros, Enero -
Junio 2019) muestran los parámetros de crecimiento de los tres modelos que se utilizaron en este
estudio, a los que se les aplicaron un ajuste no lineal:
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MODELOS MATEMÁTICOS
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Tabla 8.
Parámetros de crecimiento de los tres modelos utilizados en este estudio a los que se les
aplicaron ajuste no lineal.
Aplicación de métodos numéricos:
Para la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos se utiliza solo la información de los
parámetros del modelo de Von Bertalany: A (cm)=81.2 y K=0.386
Una vez que se aplicaron los métodos numéricos seleccionados al modelo matemático de Von
Bertalany, con el apoyo de la herramienta informática MATLAB, con los datos obtenidos en el presente
estudio de crecimiento individual: A=81.2,K=0.386 y L(0)=0, utilizando 10 subintervalos y la estimación del
crecimiento de esta especie luego de 10 años, a continuación, se presentan en la Tabla 9 los resultados
de forma numérica y en la Figura 12 los resultados de forma gráca:
Tabla 9.
Estimación del crecimiento de Pseudoplatystoma orinocoense transcurridos 10 años. Resultados
por año de la solución analítica del modelo de Von Bertalany vs. la aplicación de los métodos
numéricos seleccionados.
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Figura 12. Métodos numéricos aplicados al modelo de Von Bertalany.
Tabla 10.
Cálculo de los errores en la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Von Bertalany.
Figura 13. Representación gráca de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución analítica del
modelo de Von Bertalany.
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MODELOS MATEMÁTICOS
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De los resultados obtenidos en la Tabla 10 y de su representación gráca en la Figura 13, se puede
apreciar que ocurre algo parecido al análisis realizado en la aplicación de los modelos de Malthus y Verhulst.
El método numérico que mejor se ajusta a la solución analítica de esta aplicación del modelo matemático
de Von Bertalany, es el método de Runge-Kutta de orden 4, cuyo error es 0.00754898949087845;
seguido del método de Adams-Basforth de orden 4, cuyo error es 0.177373925778937. El método de
Adams-Moulton de orden 4 a pesar de que su error es 0.00874394729626715, sigue presentando un
comportamiento irregular y los datos obtenidos no permiten tener certeza en la estimación; el método
de Heun de orden 2 es el que menor ajuste presenta y su error es 0.995071839552928. Al igual que en
los casos anteriores, se observa con esta aplicación que se puede estimar el crecimiento de cualquier
especie, transcurrido los años que queramos, sin olvidar que cada especie en particular tiene su propia
expectativa de vida.
Aplicación de los métodos numéricos al modelo de Brody
Según (Trinidad Bello, 2014) al resolver la ecuación diferencial, se integra y se obtiene el modelo
de Brody:
Desarrollo matemático de la solución analítica:
Se inicia con la resolución de la ecuación diferencial ordinaria:
Luego se integra a ambos lados de la ecuación:
Ahora se realiza un cambio de variable para la integral que se encuentra al lado izquierdo de la
ecuación:
Ahora se procede a sustituir los valores W y dW en la integral:
Luego se utiliza el método de cambio de variables en la integral del lado izquierdo del signo igual:
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Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Luego se sustituye el valor de U y dU en la integral izquierda de la ecuación:
Con esto la solución de la integral del lado derecho es:
Con esto tenemos que C1 y C2 son constantes de integración; luego se obtiene la solución de la
ecuación diferencial del modelo de Brody:
Con esto tenemos que C3=C1+C2 como constante de integración y luego se aplica la función
exponencial a ambos lados de la ecuación y se tiene:
Luego aplicamos la condición inicial:
Y se sustituye el valor de C4:
Obtenemos en (71) el modelo propuesto por Brody
A continuación, se realiza la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos, a
este modelo, para esto se utiliza información del siguiente estudio sobre el crecimiento individual
de especies.
Modelos no lineales para describir el crecimiento de bufalinos de la raza Murrah:
En 2008 los investigadores (Malhado y otros, 2008) publicaron un artículo cuyo objetivo fue analizar
modelos no lineales para lograr predecir el crecimiento de bufalinos de la raza Murrah. Se utilizó
información de 18 pesajes de forma bimestral, desde el nacimiento hasta los 40 meses de edad, de
236 búfalos, tanto machos como hembras de esta raza, los mismos fueron pesados entre los años
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1992 y 1995. Los modelos no lineales que se utilizaron fueron: Brody, Von Bertalany, Richards,
Verhulst o Logístico y Gompertz.
Los valores de los parámetros se muestran en la Tabla 11.
Tabla 11.
Estimaciones de los parámetros (A,K,B y M) y cuadrado medio del residuo (QMR), coeciente
de determinación (R^2 ) y porcentual de convergencia (C%) para los modelos de crecimiento
ajustados en bufalinos de la raza Murrah.
Aplicación de métodos numéricos:
Para la aplicación de los cuatro métodos numéricos propuestos se utiliza solo la información de los
parámetros del modelo de Brody: A=688,K=0.0011 y B=0.98
Una vez que se aplicaron los métodos numéricos seleccionados al modelo matemático de
Brody, con el apoyo de la herramienta informática MATLAB, con los datos obtenidos en el presente
estudio de crecimiento individual A=688,K=0.0011 y B=0.98, utilizando 10 subintervalos y la estimación
del crecimiento en peso de esta especie luego de 1460 días, a continuación, se presentan en la Tabla
12 los resultados de forma numérica y en la Figura 14 los resultados de forma gráca:
Tabla 12.
Estimación del crecimiento en peso de Bufalinos de la raza Murrah transcurridos 1460 días.
Resultados por días de la solución analítica del modelo de Brody vs. la aplicación de los
métodos numéricos seleccionados.
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Figura 14. Métodos numéricos aplicados al modelo de Brody
Tabla 13.
Cálculo de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Brody.
Figura 15. Representación gráca de los errores de la aplicación de los métodos numéricos seleccionados a la solución
analítica del modelo de Brody.
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MODELOS MATEMÁTICOS
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De los resultados obtenidos en la Tabla 13 y de su representación gráca en la Figura 15, se puede
apreciar que ocurre algo parecido al análisis realizado en la aplicación de los modelos de Malthus, Verhulst y
Von Bertalany; el método numérico que mejor se ajusta a la solución analítica de esta aplicación del modelo
matemático de Brody, es el método de Runge-Kutta de orden 4, cuyo error es 0.00157130460661392;
seguido del método de Adams-Basforth de orden 4, cuyo error es 0.0461217477209175. El método de
Adams-Moulton de orden 4 a pesar de que su error es 0.00325012421023985, continúa presentando un
comportamiento irregular y los datos obtenidos no permiten tener certeza en la estimación; el método
de Heun de orden 2 es el que menor ajuste presenta y su error es 1.20484137628011. Al igual que en
los casos anteriores, se observa con esta aplicación que se puede estimar el crecimiento en peso de
cualquier especie, transcurrido los días o años que queramos, siempre teniendo en cuenta la expectativa
de vida que tiene la especie a estimar.
Comparaciones de conclusiones
Una vez que se realizó la aplicación de los cuatro métodos numéricos a cada uno de los modelos
matemáticos seleccionados, utilizando la herramienta informática MATLAB, se observa en la Tabla 14
que es el método de Runge-Kutta de orden 4 el que mejor se ajusta o aproxima a la solución analítica de
cada uno de los cinco modelos; seguido del método de Adams-Basforth de orden 4, el cual solo presentó
problemas al aplicarlo sobre el modelo de Gompertz, presentando un comportamiento inestable en los
datos obtenidos. El método que menos se ajustó en todos los modelos es el de Heun de orden 2 y el
método de Adams-Moulton de orden 4 presentó un comportamiento inestable en los datos obtenidos
en todos los modelos elegidos.
Tabla 14.
Cuadro comparativo de los cálculos de los errores de la aplicación de los métodos numéricos
seleccionados a la solución analítica de cada modelo en estudio.
Conclusiones
▶Para el desarrollo de esta investigación se eligieron cinco modelos matemáticos, los
cuales son aplicados en el área de la Biología, en lo concerniente a la dinámica de las
poblaciones, que estudia el crecimiento tanto en talla como en peso de diferentes
especies marinas o terrestres. El modelo de Malthus, Verhulst o logístico, Gompertz,
Von Bertalany y Brody; estos modelos son representados con ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden, que tienen condiciones iniciales. Así mismo, se seleccionaron
cuatro métodos numéricos que resuelven estos problemas de ecuaciones diferenciales
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Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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con condiciones iniciales. El método de Heun de orden 2, Runge-Kutta de orden 4,
Adams-Basforth de orden 4 y Adams-Moulton de orden 4.
▶Se aplicaron estos cuatro métodos numéricos a los cinco modelos matemáticos
elegidos, para esto se tomaron en consideración investigaciones de otros autores que
realizaron análisis multimodelo para estimar el crecimiento en talla o peso de varias
especies marinas y/o terrestres; de estas investigaciones se tomaron los datos y los
parámetros de cada modelo elegido y con la ayuda de la herramienta informática de
cálculos MATLAB se obtuvieron los resultados numéricos y grácos de cada aplicación
y se determinó cuál de estos métodos numéricos es el que mejor se ajusta o aproxima
a la solución analítica que tiene cada modelo.
▶Dentro del contexto y estado del arte de la investigación se dio a conocer toda la
información destacada referente a los cinco modelos seleccionados; una breve
introducción, el planteamiento de la ecuación diferencial ordinaria y sus parámetros,
el desarrollo matemático para resolver esta ecuación diferencial y obtener su solución
analítica, así como su representación gráca basada en aplicaciones reales.
▶Se estudiaron además los cuatro métodos numéricos elegidos, partiendo desde el
conocimiento de qué es una ecuación diferencial ordinaria y los problemas de valor
inicial, hasta conocer los métodos de un paso (Heun y Runge-Kutta) y los métodos
multipasos (Adams-Basforth y Adams-Moulton).
▶Se obtuvieron los resultados de la aplicación de cada método numérico a la solución
analítica de los diferentes modelos matemáticos en estudio; posteriormente se
representaron, gracaron e interpretaron estos resultados.
▶Finalmente, de toda la información y resultados obtenidos se concluye que es el método
de Runge-Kutta de orden 4 el que mejor se ajusta o aproxima a la solución analítica de
cada uno de los cinco modelos; seguido del método de Adams-Basforth de orden 4, el
cual solo presentó problemas al aplicarlo sobre el modelo de Gompertz, presentando
un comportamiento inestable en los datos obtenidos. El método que menos se ajustó
en todos los modelos es el de Heun de orden dos; el método de Adams-Moulton de
orden 4 presentó un comportamiento inestable en los datos obtenidos en todos los
modelos elegidos.
▶Esta aplicación representa una opción alternativa y demuestra la gran utilidad que tienen
los métodos numéricos, los cuales ayudan a predecir entre otras cosas fenómenos
naturales, con mucha eciencia, baja inversión y sobre todo ahorrando grandes costos
en simulación; que al nal del día es lo que buscan las empresas, desarrolladores,
emprendedores e investigadores en general.
Recomendaciones
▶Entre las líneas futuras que abre este trabajo, se puede indicar el hecho de incluir en
las investigaciones de análisis multimodelo realizadas por varios autores, un análisis
numérico como el que aquí se presenta, de esta forma se puede complementar la
investigación, eligiendo una serie de modelos matemáticos que pueden ser aplicados
ANÁLISIS NUMÉRICO DE
MODELOS MATEMÁTICOS
UNIDIMENSIONALES
APLICADOS EN BIOLOGÍA
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Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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a cualquier área de estudio, ajustarlos a los parámetros numéricos y estadísticos
disponibles, determinar cuál es el de mejor ajuste y nalmente aplicarles métodos
numéricos como una alternativa de estimación y validación de los resultados.
▶Las aplicaciones realizadas en la presente investigación fueron enfocadas al área de
la Biología (dinámica de las poblaciones), pero las mismas pueden ser aplicadas a
cualquier otra área de estudio; seleccionando los modelos matemáticos acordes a lo
que se quiera representar y aplicando a estos, los métodos numéricos aquí descritos;
de esta forma se puede estimar o predecir comportamientos de cualquier índole,
mejorando los resultados en las investigaciones y aportando a la comunidad cientíca.
▶En lo que respecta a los métodos numéricos elegidos, se podría mejorar estos métodos,
aumentando el orden de los mismos, esto disminuiría los márgenes de error y de esta
forma se pueden obtener mejores resultados en las estimaciones. De acuerdo a los
datos e información recopilada en la presente investigación al aplicar cada método
numérico a cada modelo matemático, se determinó que es el método de Runge-Kutta
de orden 4, el que mejor se ajustó a la solución analítica de los modelos seleccionados;
lo que puede ser objeto de estudio a futuro, el trabajar con este método, mejorarlo
y aumentar su orden; de esta forma tendríamos un método numérico más robusto,
cuyos resultados seguramente estarían muy cercanos a la solución que se persigue.
▶Esta investigación contribuye a demostrar una vez más la gran valía que tienen los
métodos numéricos, cuya aplicación permite predecir fenómenos de casi todo lo que
queramos y que el uso correcto de estos métodos numéricos pueden transformarse
en importantes reducciones de costos en simulación, siempre recordando además el
gran aporte que la tecnología nos ofrece hoy en día, el uso de programas informáticos
potentes como MATLAB que se utilizó en este trabajo, que permiten la adecuada
simulación y la ejecución de los métodos numéricos que se han descrito.
▶Finalmente, la acertada unión de la tecnología con los desarrollos matemáticos puede
derivar en líneas futuras de trabajos de investigación y el resultado de estos trabajos,
se convertirán en un aporte signicativo a la ciencia.
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